在数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n+1（n∈N*）（1）求证：数列{an-2n}为等差数列；（2）设数列{bn}满足bn=log2（an+1-n），若(1+1b2)(1+1b3)(1+1b4)…(1+1bn)＞kn+1对一切n∈N*且n≥2恒成立，-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n+1（n∈N*）（1）求证：数列{an-2n}为等..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+2ⁿ+1（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n-2ⁿ}为等差数列；
（2）设数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+1-n），若(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)(1+

1

b4

)…(1+

1

bn

)＞k

n+1

对一切n∈N^*且n≥2恒成立，求实数k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）（a_n+1-2ⁿ⁺¹）-（a_n-2ⁿ）=a_n+1-a_n-2ⁿ=1
故数列{a_n-2ⁿ}为等差数列，且公差d=1．
a_n-2ⁿ=（a₁-2）+（n-1）d=n-1，a_n=2ⁿ+n-1；
（2）由（1）可知a_n=2ⁿ+n-1，∴b_n=log₂（a_n+1-n）=n
设f（n）=(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)(1+

1

b4

)…（1+

1

bn

）×

1

n+1

，（n≥2）
则f（n+1）=(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)(1+

1

b4

)…（1+

1

bn

）×（1+

1

bn+1

）×

1

n+2

，
两式相除可得

f(n+1)

f(n)

=（1+

1

bn+1

）×

n+1

n+2

=

n+2

n+1

＞1，
则有f（n）＞f（n-1）＞f（n-2）＞…＞f（2）=

3

2

，
要使(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)(1+

1

b4

)…(1+

1

bn

)＞k

n+1

对一切n∈N^*且n≥2恒成立，
必有k＜

3

2

；
故k的取值范围是k＜

3

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n+1（n∈N*）（1）求证：数列{an-2n}为等..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：