已知函数{an}满足：a1=2t，t2-2tan-1+an-1an=0，n=2，3，4，…（其中t为常数且t≠0）．（I）求证：数列{1an-t}为等差数列；（II）求数列{an}的通项公式；（III）设bn=n?2nan，求数列{bn}的-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数{an}满足：a1=2t，t2-2tan-1+an-1an=0，n=2，3，4，…（其中..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

已知函数{an}满足：a1=2t，t2-2tan-1+an-1an=0，n=2，3，4，…（其中t为常数且t≠0）．
（I）求证：数列{

1

an-t

}为等差数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）设bn=n?2nan，求数列{b_n}的前n项和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）证明：（1）∵t²-2ta_n-1+a_n-1a_n=0，∴（t²-ta_n-1）-（ta_n-1-a_n-1a_n）=0，即 t（t-a_n-1）=a_n-1（t-a_n）．
∵t-a_n-1≠0，∴

1

an- t

=

an-1

t(an-1-t)

，即

1

an- t

=

an-1-t+t

t(an-1-t)

=

1

t

+

t

t(an-1-t)

，
∴

1

an- t

-

1

an-1-t

=

1

t

（为常数），∴数列{

1

an-t

}为等差数列．
（II）由上可得数列{

1

an-t

}为等差数列．公差为

1

t

，∴

1

an- t

=

1

a1- t

+（n-1）

1

t

=

n

t

．
∴a_n=

t

n

+t．
（3）∵bn=n?2ⁿa_n=（n+1）t2ⁿ，
∴s_n=t[2×2¹+3×2²+…+（n+1）2ⁿ]①．
∴2s_n=t[2×2²+3×2³+…+n 2ⁿ+（n+1）2ⁿ⁺¹]②．
①-②可得-s_n=t[[2×2¹+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）2ⁿ⁺¹]=[2+（ 2ⁿ⁺¹-2）-（n+1）2ⁿ⁺¹]=-n 2ⁿ⁺¹，
∴s_n=n 2ⁿ⁺¹．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数{an}满足：a1=2t，t2-2tan-1+an-1an=0，n=2，3，4，…（其中..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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