Pn（xn，yn）是函数y=x2（x≥0）图象上的动点，以Pn为圆心的⊙Pn与x轴都相切，且⊙Pn与⊙Pn+1又彼此外切，若x1=1，xn+1＜xn．（1）求证：数列{1xn}是等差数列；（2）设⊙Pn的面积为Sn，求证：-数学试题及答案

1、试题题目：Pn（xn，yn）是函数y=x2（x≥0）图象上的动点，以Pn为圆心的⊙Pn与x轴都..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

P_n（x_n，y_n）是函数y=x²（x≥0）图象上的动点，以P_n为圆心的⊙P_n与x轴都相切，且⊙P_n与⊙P_n+1又彼此外切，若x₁=1，x_n+1＜x_n．
（1）求证：数列{

1

xn

}是等差数列；
（2）设⊙P_n的面积为S_n，求证：

S1

+

S2

+…+

Sn

＜

3

π

2

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证：由⊙P_n与x轴都相切，知⊙P_n的半径r_n=y_n=x_n²；又⊙P_n与⊙P_n+1外切，得：|PnPn+1|=rn+rn+1?

(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2

=yn+yn+1?（x_n-x_n+1）²=4y_ny_n+1=4x_n²x_n+1²．
由x_n＞x_n+1＞0得：x_n-x_n+1=2x_nx_n+1?

1

xn+1

-

1

xn

=2，
故{

1

xn

}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）S₁=π（x₁）⁴S₂=π（x₂）⁴…S_n=π（x_n）⁴约去

π

证明（x₁）²+（x₂）²+…（x_n）²＜

3

2

即可
由（1）知（x1）²+（x₂）²+…（x_n）²=1+（

1

3

）²+（

1

5

）²+…（

1

2n-1

）²因为1+（

1

2

）²+（

1

3

）²+（

1

4

）²+…（

1

n

）2
=[1+（

1

3

）²+（

1

5

）²+…（

1

2n-1

）^2]+

1

4

[1+（

1

2

）²+（

1

3

）²+（

1

4

）²+…（

1

n

）²]
即1+（

1

3

）²+（

1

5

）²+…（

1

2n-1

）²=

3

4

1+（

1

2

）²+（

1

3

）²+（

1

4

）²+…（

1

n

）2
又因为 1+[（

1

2

）²+（

1

3

）²+（

1

4

）²+（

1

5

）²+（

1

6

）²+（

1

7

）²]+（

1

8

）²+…
＜1+[（

1

2

）²+（

1

2

）²+（

1

4

）²+（

1

4

）²+（

1

4

）²+（

1

4

）²+8（

1

8

）²+…
=1+

1

2

+

1

4

+

1

8

…=2
即就是1+（

1

2

）²+（

1

3

）²+（

1

4

）²+…（

1

n

）²＜2
所以 1+（

1

3

）²+（

1

5

）²+…（

1

2n-1

）＜

3

4

×2=

3

2

即1+（

1

3

）²+（

1

5

）²+…（

1

2n-1

）＜

3

2

所以

S1

+

S2

+

S3

+…+

Sn

＜

3

π

2

即 Tn＜

3

π

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“Pn（xn，yn）是函数y=x2（x≥0）图象上的动点，以Pn为圆心的⊙Pn与x轴都..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：