设{an}是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项和（1）若Sn=20，S2n=40，求S3n的值；（2）若互不相等正整数p，q，m，使得p+q=2m，证明：不等式SpSq＜Sm2成立；（3）是否存在常数k和等差-数学试题及答案

1、试题题目：设{an}是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项和（1）若Sn=20，S2n=4..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

设{a_n}是由正数组成的等差数列，S_n是其前n项和
（1）若S_n=20，S_2n=40，求S_3n的值；
（2）若互不相等正整数p，q，m，使得p+q=2m，证明：不等式S_pS_q＜S_m²成立；
（3）是否存在常数k和等差数列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1恒成立（n∈N^*），若存在，试求出常数k和数列{a_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

试题来源：钟祥市模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）在等差数列{a_n}中，S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…成等差数列，
∴S_n+（S_3n-S_2n）=2（S_2n-S_n）
∴S_3n=3 S_2n-3 S_n=60…（4分）
（2）S_pS_q=

1

4

pq（a₁+a_p）（a₁+a_q）
=

1

4

pq[a₁²+a₁（a_p+a_q）+a_pa_q]
=

1

4

pq（a₁²+2a₁a_m+a_pa_q）＜

1

4

（

p+q

2

）²[a₁²+2a₁a_m+（

ap+aq

2

）²]
=

1

4

m²（a₁²+2a₁a_m+a_m²）=[

1

2

m（a₁+a_m）]²
=S_m²…（8分）
（3）假设存在常数k和等差数列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1恒成立．
设a_n=pn+q（p，q为常数），则Ka_n²-1=kp²n²+2kpqn+kq²-1，
Sn=

1

2

pn(n+1)+qnS2n-Sn+1=

3

2

pn2+(q-

p

2

)n-(p+q)，
则 kp2n2+2kpqn+kp2-1=

3

2

pn2+(q-

p

2

n)-(p+q)，
故有

kp2=

3

2

p…①

2kpq=q-

p

2

…②

kq2-1=-(p+q)…③

，

由①得p=0或 kp=

3

2

．当p=0时，由②得q=0，而p=q=0不适合③，故p≠0把 kp=

3

2

代入②，得 q=-

p

4

把 q=-

p

4

代入③，又 kp=

3

2

得 p=

32

27

，从而 q=-

8

27

，k=

81

64

．故存在常数 k=

81

64

及等差数列 an=

32

27

n-

8

27

满足题意．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设{an}是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项和（1）若Sn=20，S2n=4..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：