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1、试题题目:设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an=Snn+2(n-1)(n∈N*).(1)求证:数..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-03-05 07:30:00

试题原文

设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an=
Sn
n
+2(n-1)(n∈N*).
(1)求证:数列{an}为等差数列,并分别写出an和Sn关于n的表达式;
(2)设数列{
1
anan+1
}的前n项和为Tn,证明:
1
5
≤Tn
1
4

(3)是否存在自然数n,使得S1+
S2
2
+
S3
3
+…+
Sn
n
-(n-1)2=2011?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:等差数列的定义及性质



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(1)证明:由an=
Sn
n
+2(n-1),得Sn=nan-2n(n-1)(n∈N*).
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),即an-an-1=4,
∴数列{an}是以a1=1为首项,4为公差的等差数列.
于是,an=4n-3,Sn═2n2-n(n∈N*).
(2)证明:∵
1
anan+1
=
1
(4n-3)(4n+1)
=
1
4
(
1
4n-3
-
1
4n+1
)

∴Tn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
=
1
4
[(1-
1
5
)+(
1
5
-
1
9
)+(
1
9
-
1
13
)+…+(
1
4n-3
-
1
4n+1
)]=
1
4
(1-
1
4n+1
)<
1
4

又易知Tn单调递增,
故Tn≥T1=
1
a1a2
=
1
5

所以
1
5
≤Tn
1
4

(3)由Sn=nan-2n(n-1),得
Sn
n
=an-2(n-1)=2n-1(n∈N*),
∴S1+
S2
2
+
S3
3
+…+
Sn
n
-(n-1)2=1+3+5+7+…+(2n-1)-(n-1)2
=n2-(n-1)2=2n-1.
令2n-1=2011,得n═1006,
即存在满足条件的自然数n=1006.
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an=Snn+2(n-1)(n∈N*).(1)求证:数..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中等差数列的定义及性质”。


4、其他试题:看看身边同学们查询过的数学试题:

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