已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn?Sn-1=0（n≥2），a1=12．（1）求证：{1Sn}是等差数列；（2）求an的表达式．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn?Sn-1=0（n≥2），a1=12．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+2S_n?S_n-1=0（n≥2），a₁=

1

2

．
（1）求证：{

1

Sn

}是等差数列；
（2）求a_n的表达式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵-a_n=2S_nS_n-1，
∴-S_n+S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2），S_n≠0（n=1，2，3）．
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2．
又

1

S1

=

1

a1

=2，∴{

1

Sn

}是以2为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1），

1

Sn

=2+（n-1）?2=2n，∴S_n=

1

2n

．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2n

-

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

〔或n≥2时，a_n=-2S_nS_n-1=-

1

2n(n-1)

〕；
当n=1时，S₁=a₁=

1

2

．
∴a_n=

1

2

(n=1)

-

1

2n(n-1)

(n≥2)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn?Sn-1=0（n≥2），a1=12．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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