已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N*．（1）求{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足an(2bn-1)=1，并记Tn为{bn}的前n项和，求证：3Tn+1＞log2（a-数学试题及答案

1、试题题目：已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足S1＞1，且6Sn=（an+1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和满足S₁＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足an(2bn-1)=1，并记T_n为{b_n}的前n项和，求证：3T_n+1＞log₂（a_n+3），n∈N^*．

试题来源：重庆试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由a1=S1=

1

6

(a1+1)(a1+2)，解得a₁=1或a₁=2，由假设a₁=S₁＞1，因此a₁=2，
又由an+1=Sn+1-Sn=

1

6

(an+1+1)(an+1+2)-

1

6

(an+1)(an+2)，
得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0，
即a_n+1-a_n-3=0或a_n+1=-a_n，因a_n＞0，故a_n+1=-a_n不成立，舍去
因此a_n+1-a_n=3，从而{a_n}是公差为3，首项为2的等差数列，
故{a_n}的通项为a_n=3n-1
证明：由an(2bn-1)=1可解得bn=log2(1+

1

a2

)=log2

3n

3n-1

；
从而Tn=b1+b2++bn=log2(

3

2

?

6

5

??

3n

3n-1

)
因此3Tn+1-log2(an+3)=log2(

3

2

?

6

5

??

3n

3n-1

)3?

2

3n+2

令f(n)=(

3

2

?

6

5

??

3n

3n-1

)3?

2

3n+2

，则

f(n+1)

f(n)

=

3n+2

3n+5

?(

3n+3

3n+2

)3=

(3n+3)3

(3n+5)(3n+2)2

因（3n+3）³-（3n+5）（3n+2）²=9n+7＞0，故f（n+1）＞f（n）
特别地f(n)≥f(1)=

27

20

＞1，从而3T_n+1-log₂（a_n+3）=log₂f（n）＞0、
即3T_n+1＞log₂（a_n+3）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足S1＞1，且6Sn=（an+1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：