已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=2n．（Ⅰ）证明：数列{an-2}为等比数列，并求出an；（Ⅱ）设bn=（2-n）（an-2），求{bn}的最大项．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=2n．（Ⅰ）证明：数列{an-2}为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n+S_n=2n．
（Ⅰ）证明：数列{a_n-2}为等比数列，并求出a_n；
（Ⅱ）设b_n=（2-n）（a_n-2），求{b_n}的最大项．

试题来源：台州模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：由a₁+s₁=2a₁=2得a₁=1；
由a_n+S_n=2n得
a_n+1+S_n+1=2（n+1）
两式相减得2a_n+1-a_n=2，即2a_n+1-4=a_n-2，即a_n+1-2=

1

2

（a_n-2）
是首项为a₁-2=-1，公比为

1

2

的等比数列．故a_n-2=-(

1

2

)n-1，故a_n=2-(

1

2

)n-1，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=(2-n)?(-1)?(

1

2

)n-1=(n-2)?(

1

2

)n-1
由bn+1-bn=

n-1

2n

-

n-2

2n-1

=

n-1-2n+4

2n

=

3-n

2n

≥0得n≤3
由b_n+1-b_n＜0得n＞3，所以b₁＜b₂＜b₃=b₄＞b₅＞…＞b_n
故b_n的最大项为b3=b4=

1

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=2n．（Ⅰ）证明：数列{an-2}为..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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