已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+Sn=4．（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）是否存在正整数k，使Sk+1-2Sk-2＞2成立．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+Sn=4．（1）求证：数列{an}是等比数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+S_n=4．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）是否存在正整数k，使

Sk+1-2

Sk-2

＞2成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：由题意，a_n+S_n=4，a_n+1+S_n+1=4，两式相减得an+1=

1

2

an
当n=1时，a₁+S₁=2a₁=4，得a₁=2．
∴数列{a_n}是以首项a₁=2，公比为q=

1

2

的等比数列．
（2）由（1）知Sn=4[1-(

1

2

)n]
∴

Sk+1-2

Sk-2

＞2等价于

4-21-k-2

4-22-k-2

＞2
∴

3-21-k-2

＜0
∴

2

3

＜21-k＜1
∴1＜2k-1＜

3

2

∵k是正整数，
∴2^k-1正整数，这与1＜2k-1＜

3

2

相矛盾，
故不存在这样的k，使不等式成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+Sn=4．（1）求证：数列{an}是等比数..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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