设数列{an}，a1=56，若以a1，a2，…，an为系数的二次方程：an-1x2-anx+1=0（n∈N*且n≥2）都有根α、β满足3α-αβ+3β=1．（1）求证：{an-12}为等比数列；（2）求an；（3）求{an}的前n项和Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}，a1=56，若以a1，a2，…，an为系数的二次方程：an-1x2-..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}，a₁=

5

6

，若以a₁，a₂，…，a_n为系数的二次方程：a_n-1x²-a_nx+1=0（n∈N^*且n≥2）都有根α、β满足3α-αβ+3β=1．
（1）求证：{a_n-

1

2

}为等比数列；
（2）求a_n；
（3）求{a_n}的前n项和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵α+β=

an

an-1

，αβ=

1

an-1

代入3α-αβ+3β=1得a_n=

1

3

a_n-1+

1

3

，
∴

an-

1

2

an-1-

1

2

=

1

3

an-1+

1

3

-

1

2

an-1-

1

2

=

1

3

为定值．
∴数列{a_n-

1

2

}是等比数列．
（2）∵a₁-

1

2

=

5

6

-

1

2

=

1

3

，
∴a_n-

1

2

=

1

3

×（

1

3

）^n-1=（

1

3

）ⁿ．
∴a_n=（

1

3

）ⁿ+

1

2

．
（3）S_n=（

1

3

+

1

32

++

1

3n

）+

n

2

=

1

3

(1-

1

3n

)

1-

1

3

+

n

2

=

n+1

2

-

1

2×3n

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}，a1=56，若以a1，a2，…，an为系数的二次方程：an-1x2-..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：