已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n2-3n-2，n=1，2，3…．（Ⅰ）求证：数列{an-2n}为等比数列；（Ⅱ）设bn=an?cosnπ，求数列{bn}的前n项和Pn；（Ⅲ）设cn=1an-n，数列{cn}的前n项和为-数学试题及答案

1、试题题目：已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n2-3n-2，n=1，2，3…．（Ⅰ）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n+n²-3n-2，n=1，2，3…．
（Ⅰ）求证：数列{a_n-2n}为等比数列；
（Ⅱ）设b_n=a_n?cosnπ，求数列{b_n}的前n项和P_n；
（Ⅲ）设cn=

1

an-n

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：Tn＜

37

44

．

试题来源：肥城市模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵S_n=2a_n+n²-3n-2，
∴S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2．
∴a_n+1=2a_n-2n+2，∴a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n）．
∴{a_n-2n}是以2为公比的等比数列；
（Ⅱ）a₁=S₁=2a₁-4，∴a₁=4，∴a₁-2×1=4-2=2．
∴a_n-2n=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ+2n．
当n为偶数时，P_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=-（2+2×1）-（2³+2×3）-…-[2^n-1+2（n-1）]+（2²+2×2）+（2⁴+2×4）+…+（2ⁿ+2×n）
=

4(1-2n)

1-22

-

2(1-2n)

1-22

+n=

2

3

?(2n-1)+n；
当n为奇数时，Pn=-

2n+1+2

3

-(n+1)．
综上，Pn=

-

2n+1

3

-n-

5

3

，(n为奇数)

2

3

?(2n-1)+n，(n为偶数)

；
（Ⅲ）cn=

1

an-n

=

1

2n+n

．
当n=1时，T₁=

1

3

＜

37

44

当n≥2时，Tn=

1

21+1

+

1

22+2

+

1

23+3

+…+

1

2n+n

＜

1

3

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1

3

+

1

4

(1-

1

2n-1

)

1-

1

2

=

1

3

+

1

2

-

1

2n

=

5

6

-

1

2n

＜

5

6

＜

37

44

综上可知：任意n∈N，Tn＜

37

44

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n2-3n-2，n=1，2，3…．（Ⅰ）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：