已知f（x）=（x-1）2，g（x）=4（x-1），f（an）和g（an）满足：a1=2，且（an+1-an）g（an）+f（an）=0．（1）是否存在常数C，使得数列{an+C}为等比数列？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=（x-1）2，g（x）=4（x-1），f（an）和g（an）满足：a1=2，且（an+1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），f（a_n）和g（a_n）满足：a₁=2，且（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）是否存在常数C，使得数列{a_n+C}为等比数列？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由．
（2）设b_n=3f（a_n）-[g（a_n+1）]²，求数列{b_n}的前n项和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意知：4（a_n+1-a_n）（a_n-1）+（a_n-1）²=0
∴（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0 …（2分）
∵a₁=2，∴a_n-1≠0，即4a_n+1=3a_n+1 …（4分）
假设存在常数C，使{a_n+C}为等比数列，
则：

an+1+c

an+c

=

3

4

an+

1

4

+c

an+c

=

3

4

+

1

4

(1+c)

an+c

为常数
∴c=-1，故存在常数c=-1，使{a_n-1}为等比数列…（6分）
（2）∵a₁=2，∴a1-1=1，即an-1=(

3

4

)n-1，
∴an=(

3

4

)n-1+1…（8分）
从而bn=3(an-1)2-[4(an+1-1)]2=-6(

9

16

)n-1…（10分）
∴Sn=

-6[1-(

9

16

)n]

1-

9

16

=-

96

7

[1-(

9

16

)n]…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=（x-1）2，g（x）=4（x-1），f（an）和g（an）满足：a1=2，且（an+1..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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