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1、试题题目:已知数列{an}的首项a1=23,an+1=2anan+1,n=1,2,3,….(Ⅰ)证明:..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{an}的首项a1=
2
3
an+1=
2an
an+1
,n=1,2,3,….
(Ⅰ)证明:数列{
1
an
-1}
是等比数列;
(Ⅱ)求数列{
n
an
}
的前n项和Sn

  试题来源:陕西   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:等比数列的定义及性质



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(Ⅰ)由已知:an+1=
2an
an+1

1
an+1
=
an+1
2an
=
1
2
+
1
2
?
1
an
,(2分)
1
an+1
-1=
1
2
(
1
an
-1)

a1=
2
3
,∴
1
a1
-1=
1
2
,(4分)
∴数列{
1
an
-1}
是以
1
2
为首项,
1
2
为公比的等比数列.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
1
an
-1=
1
2
?(
1
2
)n-1=
1
2n

1
an
=
1
2n
+1
,∴
n
an
=
n
2n
+n
.(8分)
Tn=
1
2
+
2
22
+
3
23
+
+
n
2n
,①
1
2
Tn=
1
22
+
2
23
+
+
n-1
2n
+
n
2n+1
,②
由①-②得:
1
2
Tn=
1
2
+
1
22
+
+
1
2n
-
n
2n+1
=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
-
n
2n+1
=1-
1
2n
-
n
2n+1
,(10分)
Tn=2-
1
2n-1
-
n
2n
.又1+2+3++n=
n(n+1)
2
.(12分)
∴数列{
n
an
}
的前n项和:Sn=2-
2+n
2n
+
n(n+1)
2
=
n2+n+4
2
-
2+n
2n
.(14分)
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知数列{an}的首项a1=23,an+1=2anan+1,n=1,2,3,….(Ⅰ)证明:..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中等比数列的定义及性质”。


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