解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得，
（x+1）²+（x﹣1）²+2x+a+2=0，整理得，2x²+2x+a+4=0，
①△=b²﹣4ac=2²﹣4×2×（a+4）=﹣8a﹣28，
（1）当方程①有两个相等的实数根时，△=0，即﹣8a﹣28=0，
解得a₁=﹣，此时方程①有一个根x=﹣，验证可知x=﹣的确满足题中的等式，
（2）当方程①有两个不相等的实数根时，△＞0，即﹣8a﹣28＞0，解得a＜﹣，
（i）若x=1是方程①的根，则原方程有增根x=1，代入①得，2+2+a+4=0，解得a₂=﹣8，此时方程①的另一个根x=﹣2，它的确也满足题中的等式；
（ii）若x=﹣1是方程①的根，则原方程有增根x=﹣1，代入①得，2﹣2+a+4=0，解得a₃=﹣4，此时方程①的另一个根x=0，验证可知x=0的确满足题中的等式；因此a₁=﹣，a₂=﹣8，a3=﹣4即为所求，a₁+a₂+a₃=﹣﹣8﹣4=﹣．
故答案为：﹣．