已知函数f（x）=lnx，g（x）=12ax2+bx（a≠0）．（1）当a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（2）在（1）的条件下，设函数φ（x）=e2x-bex（e为自然对数的底数），-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx，g（x）=12ax2+bx（a≠0）．（1）当a=-2时，函数h（x）=f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-18 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax2+bx（a≠0）．
（1）当a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（2）在（1）的条件下，设函数φ（x）=e^2x-be^x（e为自然对数的底数），x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（3）令V（x）=2f（x）-x²-kx（k∈R），如果V（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（0＜x₁＜x₂）两点，且线段AB的中点为C（x₀，0），求证：V′（x₀）≠0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数零点的判定定理

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当=-2时，h（x）=f（x）-g（x），所以h（x）=lnx+x²-bx，其定义域为（0，+∞），
因为函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，所以h'（x）≥0恒成立，即h′(x)=

1

x

+2x-b≥0恒成立，
所以b≤

1

x

+2x，当x＞0时，

1

x

+2x≥2

2

，当且仅当x=

2

时取等号，所以b≤

2

，所以b的取值范围(-∞，

2

]．
（2）设t=e^x，则函数φ（x）=e^2x-be^x等价为ω（t）=t²+bt，t∈[1，2]，
则ω(t)=t2+bt=(t+

b

2

)2-

b2

4

，且b∈(-∞，2

2

]，
所以①当

b

2

≤1，即-2≤b≤2

2

时，函数ω（t）=t²+bt，在t∈[1，2]，上为增函数，所以当t=1时，ω（t）的最小值为b+1．
②当1＜-

b

2

＜2，即-4＜b＜-2时，当t=-

b

2

时，ω（t）的最小值为-

b2

4

．
③当-

b

2

≥2，即b≤-4时，函数ω（t）=t²+bt，在t∈[1，2]上为减函数，所以当t=2时，ω（t）的最小值为4+2b．
综上：当-2≤b≤2

2

时，φ（x）的最小值为b+1．
当-4＜b＜-2时，φ（x）的最小值为-

b2

4

．
当b≤-4时，φ（x）的最小值为4+2b．
（3）因为V（x）=2f（x）-x²-kx=2lnx-x2-kx，V′(x)=

2

x

-2x-k，
假设V′（x₀）=0，成立，且0＜x₁＜x₂，则由题意知，

2lnx1-

x

21

-kx1=0 ①

2lnx2-

x

22

-kx2=0 ②

x1+x2=2x0 ③

2

x0

-2x0-k=0 (4)

，
①-②得2ln

x1

x2

-(

x

21

-

x

22

)-k(x1-x2)=0，
所以k=

2ln

x1

x2

x1-x2

-2x0，由（4）得k=

2

x0

-2x0，所以

ln

x1

x2

x1-x2

=

1

x0

，
即

ln

x1

x2

x1-x2

=

2

x1+x2

，即ln

x1

x2

=

2×

x1

x2

-2

x1

x2

+1

⑤
令t=

x1

x2

，则u(t)=lnt-

2t-2

t+1

，(0＜t＜1)，所以u′(t)=

(t-1)2

(t+1)2

＞0，(0＜t＜1)，
所以u（t）在（0，1）上为单调递增函数，所以u（t）＜u（1）=0，
即lnt＜

2t-2

t+1

，即ln

x1

x2

＜

2×

x1

x2

-2

x1

x2

+1

，
这与⑤式相矛盾，所以假设不成立，故V′（x₀）≠0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx，g（x）=12ax2+bx（a≠0）．（1）当a=-2时，函数h（x）=f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数零点的判定定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数零点的判定定理”。

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