在平面直角坐标系xOy中，点F与点E（-2，0）关于原点O对称，M是动点，且直线EM与FM的斜率之积等于-12．设点M的轨迹为曲线C，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系xOy中，点F与点E（-2，0）关于原点O对称，M是动点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系xOy中，点F与点E（-

2

，0）关于原点O对称，M是动点，且直线EM与FM的斜率之积等于-

1

2

．设点M的轨迹为曲线C，经过点(0，

2

)且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）设A(

2

，0)，曲线C与y轴正半轴的交点为B，是否存在常数k，使得向量

OP

+

OQ

与

AB

共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面向量的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设点M（x，y），由题意得点F（

2

，0），

y-0

x+

2

?

y-0

x-

2

= -1，化简可得 x²+y²=2，
故曲线C的方程为 x²+y²=2，表示以原点为圆心，以

2

为半径的圆．
（Ⅱ）∵点(0，

2

)是圆和y轴的交点，经过点(0，

2

)且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，
∴线l与曲线C不能相切，∴k≠0．
（Ⅲ）把直线l的方程 y-

2

=k（x-0）代入曲线C的方程 x²+y²=2 得，（1+k²）x²+2

2

kx=0．
设P（x₁，y₁ ），Q（x₂，y₂），则 x₁+x₂=-

2

k

1 +k2

，x₁?x₂=0．
∴

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，kx₁+

2

+kx₂+

2

）=（-

2

k

1 +k2

，-

2

k2

1 +k2

+2

2

）．
由B（0，

2

），A(

2

，0)，∴

AB

=（-

2

，

2

）．∵向量

OP

+

OQ

与

AB

共线，
∴-

2

k

1 +k2

?

2

-（-

2

）（-

2

k2

1 +k2

+2

2

）=0，

4-4k

1+k2

=0，∴k=1．
即存在常数 k=1 满足题中的条件．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系xOy中，点F与点E（-2，0）关于原点O对称，M是动点..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量的应用”。

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