已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，其左、右焦点分别是F1、F2，点P是坐标平面内的一点，且|OP|=102，PF1?PF2=12（点O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）直线y=x与椭-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，其左、右焦点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，其左、右焦点分别是F₁、F₂，点P是坐标平面内的一点，且|OP|=

10

2

，

PF1

?

PF2

=

1

2

（点O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点，若椭圆C上两点M、N使

OM

+

ON

=λ

OA

，λ∈（0，2）求△OMN面积的最大值．

试题来源：河南模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面向量的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），
由|OP|=

10

2

得x02+y02=

5

2

，
由

PF1

?

PF2

=

1

2

，得（-c-x₀，-y₀）?(c-x0，-y0)=

1

2

，
即x02+y02-c2=

1

2

，
所以c=

2

，又因为

c

a

=

6

3

，所以a²=3，b²=1，
椭圆C的方程为：

x2

3

+y2=1；
（2）由

y=x

x2

3

+y2=1

得A(

3

2

，

3

2

)，
设直线MN的方程为y=kx+m，联立方程组

y=kx+m

x2

3

+y2=1

消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=-

6km

1+3k2

，x1x2=

3m2-3

1+3k2

，
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+3k2

，
∵

OM

+

ON

=λ

OA

，∴x1+x2=

3

2

λ，y1+y2=

3

2

λ，
得kMN=-

1

3

，m=

3

λ，于是x1+x2=

3m

2

，x1x2=

9m2-9

4

，
∴|MN|=

1+(-

1

3

)2

|x1-x2|=

10

3

(x1+x2)2-4x1x2

=

10

4-3m2

2

，
∵λ＞0，O（0，0）到直线MN的距离为d=

3

10

m

10

，
∴S△OMN=

1

2

|MN|d=

10

4-3m2

4

?

3

10

m

10

=

3

?

(4-3m2)?3m2

4

≤

3

2

，
当m=

6

3

，即λ=

2

时等号成立，S_△OMN的最大值为

3

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，其左、右焦点..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量的应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：