已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=12，an+2SnSn-1=0（n≥2）．（1）判断{1Sn}是否为等差数列？并证明你的结论；（2）求Sn和an；（3）求证：S12+S22+…+Sn2≤12-14n．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=12，an+2SnSn-1=0（n≥2）．（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=

1

2

，a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2）．
（1）判断{

1

Sn

}是否为等差数列？并证明你的结论；
（2）求S_n和a_n；
（3）求证：S12+S22+…+Sn2≤

1

2

-

1

4n

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）S₁=a₁=

1

2

，∴

1

S1

=2
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2
∴{

1

Sn

}为等差数列，首项为2，公差为2…（4分）
（2）由（1）知

1

Sn

=2+（n-1）×2=2n，∴Sn=

1

2n

…（6分）
当n≥2时，an=-2SnSn-1=-2?

1

2n

?

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

∴an=

1

2

n=1

-

1

2n(n-1)

n≥2，n∈N

…（9分）
（3）S12+…+Sn2=

1

4

(

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

)≤

1

4

(1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

)=

1

4

(1+1-

1

2

+…+

1

n-1

-

1

n

)=

1

4

(2-

1

n

)=

1

2

-

1

4n

…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=12，an+2SnSn-1=0（n≥2）．（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：