解：（1）如图1，分别过A、D作AM⊥BC于M，
DN⊥CB于N，
∴AM=DN，AD=MN=5，而CD=4，∠C=45°，
∴DN=CN=CD·sin∠C=4×=4=AM，
∴BM=CB﹣CN﹣MN=3，
若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，
则∠APC=90°或∠DPB=90°．
①当∠APC=90°时，P与M重合，
∴BP=BM=3；
②当∠DPB=90°时，P与N重合，
∴BP=BN=8；
故当x的值为3或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；
（2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，
那么AD=PE，有两种情况：
①当P在E的左边时，
∵E是BC的中点，
∴BE=6，
∴BP=BE﹣PE=6﹣5=1；
②当P在E的右边时，BP=BE+PE=6+5=11；
故当x的值为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（3）由（2）知，
①当BP'=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴EP=AD=5，
如图2，过D作DN⊥BC于N，
∵CD=4，∠C=45°，则DN=CN=4，
∴NP'=BP'﹣BN=BP'﹣（BC﹣CN）=11﹣12+4=3．
∴DP'===5，
∴EP'=DP'，
故此时□P'DAE是菱形．
即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形；
②当BP=1时，此时CN=DN=4，NE=6﹣4=2，
∴DE===2≠AD，
故不能构成菱形．