如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E。（1）求证：AB·AF=CB·CD；（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是线段DE上的动点，设DP=xcm，梯形B-数学试题及答案

1、试题题目：如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-31 07:30:00

试题原文

如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E。

（1）求证：AB·AF=CB·CD；
（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是线段DE上的动点，设DP=xcm，梯形BCDP的面积为ycm²。
①求y关于x的函数关系式；
②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值。

试题来源：期末题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：相似三角形的性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵

，
∴DE垂直平分AC，
∴

，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF，
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，
∴∠DCF=∠DAF=∠B，
在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B，
∴△DCF∽△ABC，
∴

，
即

，
∴AB·AF=CB·CD；
（2）①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°，
∴

，
∴

；
②∵BC=9（定值），
∴△PBC的周长最小，就是PB+PC最小，
由（1）知，点C关于直线DE的对称点是点A，
∴PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小，
显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小，
此时DP=DE，PB+PA=AB，
由（1）

，
得△DAF∽△ABC，EF∥BC，
得

，EF=

，
∴AF∶BC=AD∶AB，即6∶9=AD∶15，
∴AD=10，
Rt△ADF中，AD=10，AF=6，
∴DF=8，
∴

，
∴当

时，△PBC的周长最小，此时

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足..”的主要目的是检查您对于考点“初中相似三角形的性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中相似三角形的性质”。

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