设x≥y≥z≥π12，且x+y+z=π2，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：设x≥y≥z≥π12，且x+y+z=π2，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-05 07:30:00

试题原文

设x≥y≥z≥

π

12

，且x+y+z=

π

2

，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：三角函数的诱导公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵x≥y≥z≥

π

12

，且x+y+z=

π

2

，
∴

π

6

≤x≤

π

2

-

π

12

×2=

π

3

，y+z=

π

2

-x，
∵

π

6

≤x≤

π

3

，y≥z，
∴cosxsin（y-z）≥0，
∴cosxsinycosz
=cosx×

1

2

[sin（y+z）+sin（y-z）]
=cosx×

1

2

[cosx+sin（y-z）]
=

1

2

cos²x+

1

2

cosxsin（y-z）≥

1

2

cos²x═

1

2

cos²

π

3

=

1

8

，
当y=z=

π

12

，x=

π

3

时，cosxsinycosz取得最小值，最小值为

1

8

，
∵sin（x-y）≥0，cosz＞0，
∴cosxsinycosz
=cosz×

1

2

[sin（x+y）-sin（x-y）]
=

1

2

cos²z-

1

2

coszsin（x-y）≤

1

2

cos²z=

1+cos2z

4

=

1

4

（1+cos

π

6

）=

2+

3

8

，
当x=y=

5π

12

，z=

π

12

时取得最大值，最大值为

2+

3

8

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设x≥y≥z≥π12，且x+y+z=π2，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．”的主要目的是检查您对于考点“高中三角函数的诱导公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中三角函数的诱导公式”。

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