已知α+2β=2π3，α和β为锐角；（1）若tan（α+β）=2+3；求β；（2）若tanβ=（2-3）cotα2，满足条件的α和β是否存在？若存在，请求出α和β的值；若不存在，请说明理由．-数学试题及答案

1、试题题目：已知α+2β=2π3，α和β为锐角；（1）若tan（α+β）=2+3；求β；（2）若tanβ=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-09 07:30:00

试题原文

已知α+2β=

2π

3

，α和β为锐角；
（1）若tan（α+β）=2+

3

；求β；
（2）若tanβ=（2-

3

）cot

α

2

，满足条件的α和β是否存在？若存在，请求出α和β的值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：两角和与差的三角函数及三角恒等变换

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为α+2β=

2π

3

，
∴tanβ=tan[（α+2β）-（α+β）]=

tan(α+2β)-tan(α+β)

1+tan(α+2β)tan(α+β)

=

tan

2π

3

-2-

3

1+(2+

3

)tan

2π

3

=

- 2

3

-2

3

-2

=1
由β为锐角，得到β=

π

4

．
（2）由α+2β=

2π

3

得

α

2

+β=

π

3

，
∴tan（

α

2

+β）=

tan

α

2

+tanβ

1-tan

α

2

tanβ

=tan

π

3

=

3

，
∵tanβ=（2-

3

）cot

α

2

即tan

α

2

tanβ=2-

3

∴tan

α

2

+tanβ=3-

3

，
于是tan

α

2

和tanβ是一元二次方程x²-（3-

3

）x+2-

3

=0的两根，
解得x₁=1，x₂=2-

3

．
若tan

α

2

=1，则α=90°与0＜α＜90°矛盾，舍去；
∴tan

α

2

=2-

3

，tanβ=1，
∴α=30°，β=45°，
故满足条件的α和β存在，且α=30°，β=45°．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知α+2β=2π3，α和β为锐角；（1）若tan（α+β）=2+3；求β；（2）若tanβ=..”的主要目的是检查您对于考点“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”。

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