函数f（x）=ax2x≥0(a2-1)eaxx＜0在（-∞，+∞）上是单调函数的必要不充分条件是（）A．a≤-3或32≤a≤3B．a≤1或a≥3C．a≤-1或a≥32D．a≤-3或1≤a≤3-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）=ax2x≥0(a2-1)eaxx＜0在（-∞，+∞）上是单调函数的必要不充分..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-20 07:30:00

试题原文

函数f（x）=

ax2 x≥0

(a2-1)eax x＜0

在（-∞，+∞）上是单调函数的必要不充分条件是（　　）

A．a≤-3或

3

2

≤a≤3

B．a≤1或a≥

3

C．a≤-1或a≥

3

2

D．a≤-

3

或1≤a≤3

试题来源：不详试题题型：单选题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：充分条件与必要条件

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

函数f（x）=

ax2 x≥0

(a2-1)eax x＜0

，为分段函数，
（1）当函数f（x）=

ax2 x≥0

(a2-1)eax x＜0

在（-∞，+∞）上是单调增函数时，
当x≥0时，y=ax²为二次函数，图象是对称轴为y轴的抛物线，它为增函数时，有a＞0；
当x＜0时，f（x）=（a²-1）e^ax是增函数，它的导函数为f′（x）=a（a²-1）e^ax，
令f′（x）≥0得-1≤a≤0或a≥1，且（a²-1）e⁰≤0即-1≤a≤1，
∴综合得a=1；
（2）当函数f（x）=

ax2 x≥0

(a2-1)eax x＜0

在（-∞，+∞）上是单调减函数时，
当x≥0时，y=ax²为二次函数，图象是对称轴为y轴的抛物线，它为减函数时，有a＜0；
当x＜0时，f（x）=（a²-1）e^ax是减函数，它的导函数为f′（x）=a（a²-1）e^ax，
令f′（x）≤0得
0≤a≤1或a≤-1，
且（a²-1）e⁰≥0即a≤-1或a≥1，
∴综合得a≤-1．
综上所述，函数f（x）=

ax2 x≥0

(a2-1)eax x＜0

在（-∞，+∞）上是单调函数的充要条件是a≤-1或a=1，
∵选项D：“a≤-

3

或1≤a≤3”?a≤-1或a=1，反之不成立．
∴选项D：“a≤-

3

或1≤a≤3”是“f（x）在R上单调递增”的必要不充分条件．
故选D．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）=ax2x≥0(a2-1)eaxx＜0在（-∞，+∞）上是单调函数的必要不充分..”的主要目的是检查您对于考点“高中充分条件与必要条件”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中充分条件与必要条件”。

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