已知函数f（x）=x2-alnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求f（x）在[1，e]上的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2-alnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-02 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求f（x）在[1，e]上的最小值．

试题来源：东城区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x²-2lnx，
当x∈（1，+∞）时，f′(x)=

2(x2-1)

x

＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上是增函数．（5分）
（Ⅱ）f′(x)=

2x2-a

x

(x＞0)，
当x∈[1，e]，2x²-a∈[2-a，2e²-a]．
若a≤2，则当x∈[1，e]时，f′（x）≥0，
所以f（x）在[1，e]上是增函数，
又f（1）=1，故函数f（x）在[1，e]上的最小值为1．
若a≥2e²，则当x∈[1，e]时，f′（x）≤0，
所以f（x）在[1，e]上是减函数，
又f（e）=e²-a，所以f（x）在[1，e]上的最小值为e²-a．
若2＜a＜2e²，则当1≤x＜

a

2

时，f′（x）＜0，此时f（x）是减函数；
当

a

2

＜x≤e时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．
又f(

a

2

)=

a

2

-

a

2

ln

a

2

，
所以f（x）在[1，e]上的最小值为

a

2

-

a

2

ln

a

2

．
综上可知，当a≤2时，f（x）在[1，e]上的最小值为1；
当2＜a＜2e²时，f（x）在[1，e]上的最小值为

a

2

-

a

2

ln

a

2

；
当a≥2e²时，f（x）在[1，e]上的最小值为e²-a．（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2-alnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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