已知函数f（x），当x，y∈R时恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求f（0），并判断f（x）的奇偶性；（2）如果x＞0时，有f（x）＜0，试判断f（x）在R上的单调性，并给出证明；（3）在（2）的条件下，若f(1)-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x），当x，y∈R时恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求f（0），并判..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

已知函数f（x），当x，y∈R时恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0），并判断f（x）的奇偶性；
（2）如果x＞0时，有f（x）＜0，试判断f（x）在R上的单调性，并给出证明；
（3）在（2）的条件下，若f(1)=-

1

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，试求f（x）在区间[-2，6]上的最大值和最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x=y=0得f（0）=0，
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），所以f（-x）=-f（x），
又x∈R，所以f（x）为奇函数．
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁），
有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
又∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在R上是减函数．
（3）由（2）知f（x）为在[-2，6]上为减函数．
∴f（x）_max=f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，
f(x)min=f(6)=6f(1)=6×(-

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)=-3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x），当x，y∈R时恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求f（0），并判..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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