已知函数f（x）=ln（ex+a）（a＞0）。（1）求函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）及f（x）的导数f′（x）；（2）假设对任意x∈[ln（3a），ln（4a）]，不等式|m-f-1（x）|+ln（f′（x））＜0成立，求实数m的取值范围-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ln（ex+a）（a＞0）。（1）求函数y=f（x）的反函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-25 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a＞0）。
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）及f（x）的导数f′（x）；
（2）假设对任意x∈[ln（3a），ln（4a）]，不等式|m-f^-1（x）|+ln（f′（x））＜0成立，求实数m的取值范围。

试题来源：辽宁省高考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：反函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）设y=ln（e^x+a），a＞0，
则e^y=e^x+a，
∴e^x=e^y-a，a＞0，
∴x=ln（e^y-a），x，y互换得到函数y=f（x）的反函数
f^-1（x）=ln（e^x-a），x∈R；
f′（x）=

。
（2）由|m-f^-1（x）|+ln（f'（x））＜0得ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x＜m＜ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x
设φ（x）=ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x，ψ（x）=ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x，
于是原不等式对于x∈[ln（3a），ln（4a）]恒成立等价于φ（x）＜m＜ψ（x）①
由

，

注意到

故有

从而φ（x）与ψ（x）均在[ln（3a），ln（4a）]上单调递增
因此不等式①成立当且仅当

即

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ln（ex+a）（a＞0）。（1）求函数y=f（x）的反函..”的主要目的是检查您对于考点“高中反函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中反函数”。

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