已知函数f(x)=x2+bx+c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)，(Ⅰ)证明：当x≥0时，f(x)≤(x+c)2；(Ⅱ)若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立，求M的最小-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x2+bx+c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)，(..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-17 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=x²+bx+c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)，
(Ⅰ)证明：当x≥0时，f(x)≤(x+c)²；
(Ⅱ)若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)-f(b)≤M(c²-b²)恒成立，求M的最小值．

试题来源：湖南省高考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：导数的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：(Ⅰ)易知f′(x)=2x+b，由题设，对任意的x∈R，2x+b≤x²+bx+c，
即x²+(b-2)x+c-b≥0恒成立，
所以(b-2)²-4(c-b)≤0，从而

，
于是c≥1，且

=|b|，
因此2c-b=c+(c-b)＞0，
故当x≥0时，有(x+c)²-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0，
即当x≥0时，f(x)≤(x+c)²。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，c≥|b|，
当c＞|b|时，有

，
令

则

，
而函数g(t) =2-

的值域是

；
因此，当c＞|b|时，M的取值集合为

；
当c=|b|时，由(Ⅰ)知，b=±2，c=2，此时f(c)-f(b)=-8或0，
c²-b²=0，从而f(c)-f(b)≤

(c²-b²)恒成立；
综上所述，M的最小值为

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x2+bx+c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)，(..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的运算”。

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