已知直线y=-x+1与椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．（1）若椭圆的离心率为33，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）若OA⊥OB（其中O为坐标原点），当椭圆的离率e∈[12，22]时，求椭-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线y=-x+1与椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）相交于A、B两..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知直线y=-x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为

3

，焦距为2，求椭圆的标准方程；
（2）若OA⊥OB（其中O为坐标原点），当椭圆的离率e∈[

1

2

，

2

]时，求椭圆的长轴长的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（1）∵e=

3

，即

c

a

=

3

．又2c=2，解得a=

3

，
则b=

a2-c2

=

2

．
（2）
由

x2

a2

+

y2

b2

=1

y=-x+1

消去y得（a²+b²）?x²-2a²x+a²?（1-b²）=0，
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0，整理得a²+b²＞1．
设A（x₁，y₁，），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

．
∴y₁y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1．
∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0．
∴

2a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0．整理得a²+b²-2a²b²=0．
∵b²=a²-c²=a²-a²e²，代入上式得
2a²=1+

1

1-e2

，
∴a²=

1

2

(1+

1

1-e2

)．
∵e∈[

1

2

，

2

]∴

1

4

≤e2≤

1

2

，
∴

1

2

≤1-e2≤

3

4

，
∴

4

3

≤

1

1-e2

≤2，∴

7

3

≤1+

1

1-e2

≤3，
∴

7

6

≤a2≤

3

2

，适合条件a²+b²＞1，
由此得

42

6

≤a≤

6

2

．
∴

42

3

≤2a≤

6

，
故长轴长的最大值为

6

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线y=-x+1与椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）相交于A、B两..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：