已知椭圆M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+42．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l：x=ky+m与椭圆M交手A，B两点，若以AB为直-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为223，且椭圆上一..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

3

，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4

2

．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l：x=ky+m与椭圆M交手A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．

试题来源：商丘三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意，可得 2a+2c=6+4

2

，即a+c=3+2

2

，…（1分）
又椭圆的离心率为

2

3

，即

c

a

=

2

3

，…（2分）
所以a=3，c=2

2

，
所以b²=a²-c²=1，…（3分）
所以椭圆M的方程为

x2

9

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）由

x=ky+m

x2

9

+y2=1

消去x得（k²+9）y²+2kmy+m²-9=0．…（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），有y1+y2=-

2km

k2+9

，y1y2=

m2-9

k2+9

．①…（6分）
因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），所以

CA

?

CB

=0．…（7分）
由

CA

=(x1-3，y1)，

CB

=(x2-3，y2)，得（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=0．…（8分）
将x₁=ky₁+m，x₂=ky₂+m代入上式，
得 (k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0，…（10分）
将 ①代入上式得(k2+1)×

m2-9

k2+9

+k(m-3)×(-

2km

k2+9

)+(m-3)2=0
解得 m=

12

5

，或m=3．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为223，且椭圆上一..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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