如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA，D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE，（Ⅰ）证明平面ADE⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA，D是A1B1的中点，点E在A1C..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=

AA，D是A₁B₁的中点，点E在A₁C₁上，且DE⊥AE，
（Ⅰ）证明平面ADE⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。

试题来源：湖南省高考真题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱

的性质，
知

，
又DE

平面A₁B₁C₁，
所以DE⊥AA₁，
而DE⊥AE，AA₁∩AE=A，
所以DE⊥平面ACC₁A₁，
又DE

平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC₁A₁。
（Ⅱ）如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，
由正三棱柱

的性质及D是A₁B的中点，
知A₁B⊥C₁D，A₁B⊥DF，
又C₁D∩DF=D，
所以A₁B⊥平面C₁DF，
而AB∥A₁B，
所以AB⊥平面C₁DF，
又AB

平面ABC，
故平面ABC₁⊥平面C₁DF。
过点D作DH垂直C₁F于点H，则DH⊥平面ABC₁，
连接AH，则∠HAD是AD和平面ABC₁所成的角，
由已知AB=

AA₁，
不妨设

，
则AB=2，

，

，
所以

，
即直线AD和平面ABC₁所成角的正弦值为

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA，D是A1B1的中点，点E在A1C..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面所成的角”。

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