已知数列{an}中a1=2，an+1=2-1an，数列{bn}中bn=1an-1，其中n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列；（Ⅱ）设Sn是数列{13bn}的前n项和，求1S1+1S2+…+1Sn；（Ⅲ）设Tn是数列{(13)n?bn}的-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中a1=2，an+1=2-1an，数列{bn}中bn=1an-1，其中n∈N*..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中a₁=2，an+1=2-

1

an

，数列{b_n}中bn=

1

an-1

，其中 n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）设S_n是数列{

1

3

bn}的前n项和，求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

；
（Ⅲ）设T_n是数列{ (

1

3

)n?bn }的前n项和，求证：Tn＜

3

4

．

试题来源：天津一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）bn+1=

1

an+1-1

=

1

1-

1

an

=

an

an-1

，而　bn=

1

an-1

，
∴bn+1-bn=

an

an-1

-

1

an-1

=1．n∈N^*
∴{b_n}是首项为b1=

1

a1-1

=1，公差为1的等差数列．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=n，

1

3

bn=

1

3

n． ∴Sn=

1

3

(1+2+…+n)=

n(n+1)

6

，
于是

1

Sn

=

6

n(n+1)

=6(

1

n

-

1

n+1

)，
故有

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=6(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=6(1-

1

n+1

)=

6n

n+1

．（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知　(

1

3

)n?bn=n?(

1

3

)n，
则Tn=1?

1

3

+2?(

1

3

)2+…+n?(

1

3

)n．∴

1

3

Tn=1?(

1

3

)2+2?(

1

3

)3+…+(n-1)(

1

3

)n+n?(

1

3

)n+1．
则

2

3

Tn=

1

3

+(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+(

1

3

)n-n?(

1

3

)n+1=

1

2

[1-(

1

3

)n]-n?(

1

3

)n+1，
∴T_n=

3

4

-

1

4

(

1

3

)n-1-

n

2

?(

1

3

)n＜

3

4

．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中a1=2，an+1=2-1an，数列{bn}中bn=1an-1，其中n∈N*..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：