正方形ABCD的对角线交点为O，两条对角线把它分成了四个面积相等的三角形．（1）平行四边形ABCD的两条对角线交点为O，若△AOB，△BOC，△COD，△DOA面积分别为S1，S2，S3，S4，试判断-数学试题及答案

1、试题题目：正方形ABCD的对角线交点为O，两条对角线把它分成了四个面积相等的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-01 07:30:00

试题原文

正方形ABCD的对角线交点为O，两条对角线把它分成了四个面积相等的三角形．
（1）平行四边形ABCD的两条对角线交点为O，若△AOB，△BOC，△COD，△DOA面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，试判断S₁，S₂，S₃，S₄的关系，并加以证明；
（2）四边形ABCD的两条对角线互相垂直，交点为O，若△AOB，△BOC，△COD，△DOA面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，试判断S₁，S₂，S₃，S₄的关系，并加以证明；
（3）四边形ABCD的两条对角线交点为O，若△AOB，△BOC，△COD，△DOA面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，试判断S₁，S₂，S₃，S₄的关系，并加以证明；
（4）四边形ABCD的两条对角线相等，交点为O，∠BAC=∠BDC，若△AOB，△BOC，△COD，△DOA面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，试只用S₁，S₃或只用S₂，S₄表示四边形ABCD的面积S．

试题来源：淄博试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：正方形，正方形的性质，正方形的判定

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵△AOB，△BOC的边OA，OC上的高相同，
∴S₁=S₂，
同理S₂=S₃，S₃=S₄，S₄=S₁，
∴S₁=S₂=S₃=S₄．

（2）∵AC⊥BD，垂足为O，
∴S₁=

1

2

OA?OB，S₂=

1

2

OB?OC，S₃=

1

2

OC?OD，S₄=

1

2

OD?OA，
∴S₁S₃=S₂S₄；

（3）设点B到线段AC所在直线的距离为h₁，点D到线段AC所在直线的距离为h₂，
∴S₁=

1

2

OA?h₁，S₂=

1

2

OC?h₁，S₃=

1

2

OC?h₂，S₄=

1

2

OA?h₂，
∴S₁S₃=S₂S₄；

（4）∵BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，
∴∠DCA=∠ABD，
当AB与CD不平行时，必相交于一点，
设线段BA与CD的延长线交于点E，
∵AC=BD，∠AEC=∠DEB，
∴△AEC≌△DEB，
∴AE=DE，CE=BE，
∴AB=DC，
∴△AOB≌△DOC，
∴S₁=S₃，
∵S₁S₃=S₂S₄，
∴S₁²=S₂S₄，
∴S=S₁+S₂+S₃+S₄=2S₁+S₂+S₄=S₂+S₄+2

S2S4

（或=（

S2

+

S4

）²）；
当AB与CD平行时，则△ABD与△BAC同底等高，有S₁+S₂=S₁+S₄，
∴S₂=S₄，
∵S₁S₃=S₂S₄，
∴S₂²=S₁S₃，S=S₁+S₃+2S₂=S₁+S₃+2

S1S3

（或=（

S1

+

S3

）²）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“正方形ABCD的对角线交点为O，两条对角线把它分成了四个面积相等的..”的主要目的是检查您对于考点“初中正方形，正方形的性质，正方形的判定”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中正方形，正方形的性质，正方形的判定”。

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