已知：AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动(点C与点A不重合)，以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E。（1）求证：CD是半圆O的切线(图①)；（2）作EF⊥A-数学试题及答案

1、试题题目：已知：AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动(点C与点A不重合)，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-31 07:30:00

试题原文

已知：AB是半圆O 的直径，点C在BA的延长线上运动(点C与点A不重合)，以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E。

（1）求证：CD是半圆O的切线(图①)；
（2）作EF⊥AB于点F(图②)，猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；
（3）在上述条件下，过点E作CB的平行线CD于点N，当NA与半圆O相切时(图③)，求∠EOC的正切值。

试题来源：浙江省期末题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：相似三角形的性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：如图1，连结OD，则OD为半圆O的半径
               ∵OC为半圆M的直径
              ∴∠CDO=90°
             ∴CD是半圆O的切线；
（2）猜想：。
   如图，连结OD、OE，延长OE交CD于点K，作EG⊥CD于点G，则EG//OD。
    ∵CE平分∠DCB ∴∠OCE=∠KCE
      ∵EF⊥AB     ∴EG=EF
         ∵OC是半圆M的直径，E为半圆M上的一点
        ∴∠CEO=∠CEK=90°
          ∵CE为公共边
         ∴△COE≌△CKE
      ∴OE=KE     ∵EG//OD
      ∴DG=GK ∴ ；
（3）如图3，延长OE交CD于点K
      设OF=x，EF=y，则OA=2y
     ∵NE//CB，EF⊥CB，NA切半圆O于点A
    ∴四边形AFEN是矩形
      ∴
     同（2），得E是OK的中点
     ∴N是CK的中点


    ∴Rt△CEF∽Rt△EOF
    ∴ 即
     解得


∴tan∠EOC=3

图1

图2

图3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知：AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动(点C与点A不重合)，..”的主要目的是检查您对于考点“初中相似三角形的性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中相似三角形的性质”。

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