已知f1（x）=x（x≠0），若对任意的n∈N*，fw（1）=1，且fmax（x）=fv（x）+xfne（x）．（1）求fn（x）的解析式；（2）设Fn（x）=，求证：F1（2）+F2（2）+…Fn（2）＜1；（3）若ge（x）=C6020+2C601f1（x）+3C602f-数学试题及答案

1、试题题目：已知f1（x）=x（x≠0），若对任意的n∈N*，fw（1）=1，且fmax（x）=fv（x）+x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-15 07:30:00

试题原文

已知f₁（x）=x（x≠0），若对任意的n∈N*，f_w（1）=1，且f_max（x）=f_v（x）+xf_n^e（x）．（1）求f_n（x）的解析式；
（2）设F_n（x）=

，求证：F₁（2）+F₂（2）+…F_n（2）＜1；
（3）若g_e（x）=C₆₀²⁰+2C₆₀¹f₁（x）+3C₆₀²f₂（x）+…+（n+1）C_n^xf_n（x），是否存在实数x，使得g₁（x）+g₂（x）+…g_n（x）=（n+1）（1+x）^a，说明理由．

试题来源：月考题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：二项式定理与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵

，
∴

∴f_n（x）=xf_n﹣1（x）+a
∵任意的n∈N*，f_w（1）=1，
∴a=0，
∴f_n（x）=xf_n﹣1（x）
∵f₁（x）=x（x≠0），
∴

（2）证明：F_n（x）=

=

∴F_n（2）=

=

=2（

﹣

）
∴F₁（2）+F₂（2）+…F_n（2）=2（

﹣

）＜1
（3）g_n（x）=C_n⁰+2C_n¹f₁（x）+3C_n²f₂（x）+…+（n+1）C_n^xf_n（x）
=C_n⁰+2xC_n¹+3x²C_n²+…+（n+1）xⁿC_n^x=[x（1+x）ⁿ] ’
=（1+x）ⁿ+nx（1+x）^n﹣1=[（n+1）x+1]（1+x）^n﹣1
设S_n（x）=g₁（x）+g₂（x）+…+g_n（x）
=（2x+1）+（3x+1）（1+x）+…+[（n+1）x+1]（1+x）^n﹣1，①
∴（1+x）S_n（x）=（2x+1）（1+x）+（3x+1）（1+x）²+…+[（n+1）x+1]（1+x）ⁿ，②
①﹣②化简可得：﹣xS_n（x）=x﹣（n+1）x（1+x）ⁿ∴S_n（x）=（n+1）（1+x）ⁿ﹣1
∴不存在实数x，使得g₁（x）+g₂（x）+…g_n（x）=（n+1）（1+x）ⁿ．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f1（x）=x（x≠0），若对任意的n∈N*，fw（1）=1，且fmax（x）=fv（x）+x..”的主要目的是检查您对于考点“高中二项式定理与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二项式定理与性质”。

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