发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-11-15 07:30:00
试题原文 |
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解:(Ⅰ)①A={1,5}不是M={1,2,3,4,5}的一个二元基底. 理由是3≠λ1×1+λ2×5; ②A={2,3}是M={1,2,3,4,5}的一个二元基底. 理由是 1=﹣1×2+1×3,2=1×2+0×3,3=0×2+1×3, 4=1×2+1×2,5=1×2+1×3,6=1×3+1×3. (Ⅱ)不妨设a1<a2<a3<…<am,则形如1×ai+0×aj(1≤i≤j≤m)的正整数共有m个; 形如1×ai+1×ai(1≤i≤m)的正整数共有m个; 形如1×ai+1×aj(1≤i≤j≤m)的正整数至多有 个; 形如﹣1×ai+1×aj(1≤i≤j≤m)的正整数至多有 个. 又集合M={1,2,3,…,n}(n∈N*), 含n个不同的正整数,A为集合M的一个m元基底. 故m+m+ + ≥n,即m(m+1)≥n (Ⅲ)由(Ⅱ)可知m(m+1)≥19,所以m≥4. 当m=4时,m(m+1)﹣19=1, 即用基底中元素表示出的数最多重复一个…* 假设A=a1,a2,a3,,a4为M={1,2,3,…,19}的一个4元基底, 不妨设a1<a2<a3<a4,则a4≥10. 当a4=10时,有a3=9,这时a2=8或7. 如果a2=8,则由1=10﹣9,1=9﹣8,18=9+9,18=10+8,这与结论*矛盾. 如果a2=7,则a1=6或5. 易知A={6,7,9,10}和A={5,7,9,10}都不是M={1,2,3,…,19}的4元基底,矛盾.当a4=11时,有a3=8,这时a2=7,a1=6, 易知A={6,7,8,11}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底,矛盾. 当a4=12时,有a3=7,这时a2=6,a1=5, 易知A={5,6,7,12}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底,矛盾. 当a4=13时,有a3=6,a2=5,a1=4, 易知A={4,5,6,13}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底,矛盾. 当a4=14时,有a3=5,a2=4,a1=3, 易知A={3,4,5,14}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底,矛盾. 当a4=15时,有a3=4,a2=3,a1=2, 易知A={2,3,4,15}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底,矛盾. 当a4=16时,有a3=3,a2=2,a1=1, 易知A={1,2,3,16}不是M={1,2,3,…,19}的4元基底,矛盾. 当a4≥17时,A均不可能是M的4元基底. 当m=5时,M的一个基底A={1,3,5,9,16}. 综上所述,m的最小可能值为5. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知集合M={1,2,3,…,n}(n∈N*),若集合,且对任意的b∈M,存在..”的主要目的是检查您对于考点“高中二项式定理与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中二项式定理与性质”。