已知函数f(x)=ax2+bx，存在正数b，使得f（x）的定义域和值域相同．（1）求非零实数a的值；（2）若函数g(x)=f(x)-bx有零点，求b的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ax2+bx，存在正数b，使得f（x）的定义域和值域相同．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-26 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

ax2+bx

，存在正数b，使得f（x）的定义域和值域相同．
（1）求非零实数a的值；
（2）若函数g(x)=f(x)-

b

x

有零点，求b的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数、映射的概念

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）若a＞0，对于正数b，f（x）的定义域为
D=(-∞，-

b

a

]∪[0，+∞)，
但f（x）的值域A?[0，+∞），故D≠A，不合要求．
若a＜0，对于正数b，f（x）的定义域为D=[0，-

b

a

]．
由于此时[f(x)]max=f(-

b

2a

)=

b

2

-a

，
故函数的值域A=[0，

b

2

-a

]．
由题意，有-

b

a

=

b

2

-a

，由于b＞0，所以a=-4．
（2）由f(x)-

b

x

=0，即

-4x2+bx

=

b

x

(0＜x≤

b

4

)，
得4x⁴-bx³+b²=0．
记h（x）=4x⁴-bx³+b²，
则h′（x）=16x³-3bx²，令h′（x）=0，x=

3b

16

∈(0，

b

4

]（10分）
易知h(x)在(0，

3b

16

]上递减；在[

3b

16

，

b

4

]上递增．
∴x=

3b

16

是h（x）的一个极小值点．（12分）
又h(

b

4

)=b2＞0，h(0)→b2＞0，∴由题意有：h(

3b

16

)≤0，（14分）
即4(

3b

16

)4-b(

3b

16

)3+b2≤0，∴b2≥

4

(

3

16

)3

，
故bmin=

128

3

9

．（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ax2+bx，存在正数b，使得f（x）的定义域和值域相同．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数、映射的概念”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数、映射的概念”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：