已知函数f（x）=log3（ax2+2x+a2）在[2，4]上是增函数，求a的范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=log3（ax2+2x+a2）在[2，4]上是增函数，求a的范围．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=log₃（ax²+2x+a²）在[2，4]上是增函数，求a的范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵y=log₃x为定义域上的增函数，令g（x）=ax²+2x+a²，
则f（x）=log₃g（x）为复合函数，
又∵f（x）=log₃（ax²+2x+a²）在[2，4]上是增函数，根据复合函数“同增异减”的性质，
∴g（x）=ax²+2x+a²在[2，4]上为增函数，且g（x）＞0在[2，4]上恒成立
①当a=0时，g（x）=2x在[2，4]上为增函数，且g（x）＞0在[2，4]上恒成立，满足题意
②当a＞0，函数g（x）=ax²+2x+a²的对称轴x=-

1

a

＜0，则函数g（x）在[2，4]上单调递增，
而由g（x）_min=g（2）=4a+4+a²=（a+2）²＞0可知g（x）＞0在[2，4]上成立
故a＞0满足题意
③当a＜0时，函数g（x）=ax²+2x+a²的对称轴x=-

1

a

＞0，
由题意可得，-

1

a

≥4且g（x）_min=g（2）=4a+4+a²=（a+2）²＞0
∴-

1

4

≤a＜0
综上可得，a≥-

1

4

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=log3（ax2+2x+a2）在[2，4]上是增函数，求a的范围．”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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