定义在（0，+∞）上的函数f（x）=x2-alnx，g（x）=x-ax，且f（x）在x=1处取极值．（Ⅰ）确定函数g（x）的单调性．（Ⅱ）证明：当1＜x＜e2时，恒有x＜2+lnx2-lnx成立．-数学试题及答案

1、试题题目：定义在（0，+∞）上的函数f（x）=x2-alnx，g（x）=x-ax，且f（x）在x=1处取..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

定义在（0，+∞）上的函数f（x）=x²-alnx，g（x）=x-a

x

，且f（x）在x=1处取极值．
（Ⅰ）确定函数g（x）的单调性．
（Ⅱ）证明：当1＜x＜e²时，恒有x＜

2+lnx

2-lnx

成立．

试题来源：东至县模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）函数f（x）=x²-alnx，则f′(x)=2x-

a

x

，
∵f（x）在x=1处取极值
∴f′（1）=0
∴2-a=0
∴a=2．…（3分）
∴g（x）=x-2

x

，∴g′(x)=1-

1

x

．
由g′(x)=1-

1

x

＞0，可得x＞1，由g′(x)=1-

1

x

＜0，可得0x＜1，…（…（5分）
所以g（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数．…（6分）
（Ⅱ）证明：当1＜x＜e²时，0＜lnx＜2，要证x＜

2+lnx

2-lnx

等价于x（2-lnx）＜2+lnx，即lnx＞

2(x-1)

1+x

设h（x）=lnx-

2(x-1)

1+x

，则h′（x）=

1

2

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

．…（10分）
∴当1＜x＜e²时，h′（x）＞0，
所以h（x）在区间（1，e²）上为增函数．…（12分）
从而当1＜x＜e²时，h（x）＞h（1）=0，即lnx＞

2(x-1)

1+x

，故x＜

2+lnx

2-lnx

…（14分）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在（0，+∞）上的函数f（x）=x2-alnx，g（x）=x-ax，且f（x）在x=1处取..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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