已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，是否存在实数m使得f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0），对一切θ∈[0，π2]都成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，-数学试题及答案

1、试题题目：已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，是否存..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，是否存在实数m使得f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0），对一切θ∈[0，

π

2

]都成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设存在实数m使得f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）对一切θ∈[0，

π

2

]都成立，
∵奇函数f（x）的定义域为R，
∴f（0）=0，
∴f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m）恒成立，
又∵f（x）在R上单调递增，
∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m，
∴2cos²θ-4＞2mcosθ-4m，
∴cos²θ-mcosθ+2m-2＞0．
设t=cosθ，由θ∈[0，

π

2

]可知t∈[0，1]，
∴f（t）=t²-mt+2m-2，（0≤t≤1）．
（1）当

m

2

≤0即m≤0时f（t）_min=f（0）=2m-2＞0，
∴m＞1（舍）
（2）当

m

2

≥1即m≥2时f（t）_min=f（1）=m-1＞0，
∴m≥2；
（3）当0＜

m

2

＜1，即0＜m＜2时，f（t）_min=f（

m

2

）=-m²+8m-8＞0，
∴4-2

2

＜m＜4+2

2

，
∴4-2

2

＜m＜2．
综上所述，m＞4-2

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，是否存..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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