已知函数f(x)(x∈R且x＞0)，对于定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)，并且x＞1时，f(x)＞0恒成立。（1）求f(1)；（2）证明方程f(x)=0有且仅有一个实根；（3）若x∈[1，+∞)时，不等式恒-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)(x∈R且x＞0)，对于定义域内任意x、y恒有f(xy)=f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)(x∈R且x＞0)，对于定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)，并且x＞1时，f(x)＞0恒成立。（1）求f(1)；
（2）证明方程f(x)=0有且仅有一个实根；
（3）若x∈[1，+∞)时，不等式

恒成立，求实数a的取值范围。

试题来源：同步题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）令x=y=1，∴f(1)=2f(1)，∴f(1)=0；
（2）任取

，则

，由题意，

，
又定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)，所以f(xy)-f(y)=f(x)，
∴

，∴

，
∴函数f(x)在其定义域内为增函数，由（1）和f(1)=0，所以，1为方程f(x)=0的一个实根；
若还存在一个x₀，且x₀＞0，使得

，
因为函数f(x)在其定义域内为增函数，必有

，故方程f(x)=0有且仅有一个实根；
（3）由（2）知函数f(x)在其定义域内为增函数，
当x∈[1，+∞)时，不等式

恒成立，
即

，即

在x∈[1，+∞)时恒成立，
∵

，
∴a＞-2。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)(x∈R且x＞0)，对于定义域内任意x、y恒有f(xy)=f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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