已知函数f（x）=lnx+a-xx，其中a为常数，且a＞0．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=12x+1垂直，求a的值；（2）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为12，求a的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx+a-xx，其中a为常数，且a＞0．（1）若曲线y=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx+

a-x

x

，其中a为常数，且a＞0．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=

1

2

x+1垂直，求a的值；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为

1

2

，求a的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f′（x）=

1

x

+

-x-(a-x)

x2

=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（x＞0）（4分）
（1）因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=

1

2

x+1垂直，
所以f'（1）=-2，即1-a=-2，解得a=3．（6分）
（2）当0＜a≤1时，f'（x）＞0在（1，2）上恒成立，
这时f（x）在[1，2]上为增函数∴f（x）_min=f（1）=a-1．
∴a-1=

1

2

，a=

3

2

，不合（8分）
当1＜a＜2时，由f'（x）=0得，x=a∈（1，2）
∵对于x∈（1，a）有f'（x）＜0，f（x）在[1，a]上为减函数，
对于x∈（a，2）有f'（x）＞0，f（x）在[a，2]上为增函数，
∴f（x）_min=f（a）=lna．
∴lna=

1

2

，a=

e

，（11分）
当a≥2时，f'（x）＜0在（1，2）上恒成立，
这时f（x）在[1，2]上为减函数，∴f（x）min=f（2）=ln2+

a

2

-1，
∴ln2+

a

2

-1=

1

2

，a=3-2ln2，不合．
综上，a的值为

e

．（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx+a-xx，其中a为常数，且a＞0．（1）若曲线y=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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