已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为22，且过点(2，2)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线M-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，离心率为

2

，且过点(2，

2

)．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F₁，F₂，且这两条直线互相垂直，求证：

1

|MN|

+

1

|PQ|

为定值．

试题来源：东城区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知e=

c

a

=

2

，得

b2

a2

=

a2-c2

a2

=1-e2=

1

2

．
所以a²=2b²．
所以C：

x2

2b2

+

y2

b2

=1，即x²+2y²=2b²．
因为椭圆C过点(2，

2

)，所以22+2(

2

)2=2b2，
得b²=4，a²=8．
所以椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆C的焦点坐标为F₁（-2，0），F₂（2，0）．
根据题意，可设直线MN的方程为y=k（x+2），
由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为y=-

1

k

(x-2)．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由方程组

y=k(x+2)

x2

8

+

y2

4

=1

消y得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0．
则 x1+x2=

-8k2

2k2+1

，x1x2=

8k2-8

2k2+1

．
所以|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

?

(x1+x2)2-4x1x2

=

4

2

(1+k2)

2k2+1

．
同理可得|PQ|=

4

2

(1+k2)

k2+2

．
所以

1

|MN|

+

1

|PQ|

=

2k2+1

4

2

(1+k2)

+

k2+2

4

2

(1+k2)

=

3k2+3

4

2

(1+k2)

=

3

2

8

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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