已知数列{an}中，a1=1，a2=3，其前n项和为Sn，且当n≥2时，an+1Sn-1-anSn=0．（Ⅰ）求证：数列{Sn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）令bn=9an(an+3)(an+1+3)，记数列{bn}的-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=1，a2=3，其前n项和为Sn，且当n≥2时，an+1Sn..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，其前n项和为S_n，且当n≥2时，a_n+1S_n-1-a_nS_n=0．
（Ⅰ）求证：数列{S_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）令bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

，记数列{b_n}的前n项和为T_n，证明对于任意的正整数n，都有

3

8

≤Tn＜

7

8

成立．

试题来源：乐山二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：当n≥2时，
a_n+1S_n-1-a_nS_n=（S_n+1-S_n）S_n-1-（S_n-S_n-1）S_n=S_n+1S_n-1-S_n²，
所以S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2）．
又由S₁=1≠0，S₂=4≠0，可推知对一切正整数n均有S_n≠0，
∴数列{S_n}是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列{S_n}的首项为1，公比为4，
∴S_n=4^n-1．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-2，又a₁=S₁=1，
∴an=

1 (n=1)

3×4n-2，(n≥2).

（Ⅲ）证明：当n≥2时，a_n=3×4^n-2，
此时bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

=

9×3×4n-2

(3×4n-2+3)(3×4n-1+3)

=

3×4n-2

(4n-2+1)(4n-1+1)

，
又b1=

9a1

(a1+3)(a2+3)

=

3

8

，
∴bn=

3

8

，(n=1)

3×4n-2

(4n-2+1)(4n-1+1)

，(n≥2)

．
当n≥2时，
bn=

3×4n-2

(4n-2+1)(4n-1+1)

=

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

Tn=b1+b2+…+bn=

3

8

+(

1

42-2+1

-

1

42-1+1

)+…+(

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

)
=

7

8

-

1

4n-1+1

＜

7

8

．
又因为对任意的正整数n都有b_n＞0，所以T_n单调递增，即T_n≥T₁，
∵T1=b1=

3

8

＜

7

8

所以对于任意的正整数n，都有

3

8

≤Tn＜

7

8

成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=1，a2=3，其前n项和为Sn，且当n≥2时，an+1Sn..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：