发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2014-11-5 7:30:00
| 试题原文 |
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| 显然，a=b=c=n=0是方程6（6a2+3b2+c2）=5n2（1）的一组解． 为求（1）的整数解，只须求出它的正整数解即可，而对于正整数解，只要求出a，b，c，n互质的解即可，为此设（a，b，c，n）=1． 由方程（1）可知，6是5n2的约数， 因为6与5互质，所以6是n2的约数，从而6是n的约数，进一步5n2有约数36， 因此6又是6a2+3b2+c2的约数，即6是3b2+c2的约数， 所以3是c2的约数， 故可设n=6m，c=3d， 代入（1）得 2a2+b2+3d2=10m2（2） b2+3d2=10m2-2a2 所以b和d具有相同的奇偶性． ①若b和d同为奇数，考察用8除以（2）式两边所得的余数： 式（2）左边被8除的余数为2+1+3=6或0+1+3+4； 式（2）右边被8除的余数为0或2． 此时方程（2）无解，从而方程（1）无解． ②若b和d同为偶数，由a，b，d，n互质可知，a为奇数， （2）式左边被8除的余数为2+（0或4）+（0或3）≠8， 所以（2）的左边不能被8整除，从而（2）的右边10m2不能被8整除，m一定为奇数； 这样可设a=2a1-1，b=2b1，d=2d1，m=2m1-1， 其中a1，b1，d1，m1都是正整数，则方程（2）化为2a1（a1-1）-10m1（m1-1）-2=-（b12+3d12）， 10m1（m1-1）-2a1（a1-1）+2=b12+3d12（3） 由于m1（m1-1）及a1（a1-1）为偶数， 则（3）式左边为偶数，且被4除余2，而右边b1和d1不能同为偶数， 否则（3）式右边能被（4）整除，（3）式不能成立， 然而b1和d1同为奇偶时，（3）式右边仍能被4整除，（3）式不能成立， 于是，方程（2）无解，从而方程（1）无解． 综上讨论知，方程只有一组解a=b=c=m=0． |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“方程6（6a2+3b2+c2）=5n2的所有整数解是______．”的主要目的是检查您对于考点“初中一元二次方程的解法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中一元二次方程的解法”。