已知抛物线y=x2与动直线y=（2t-1）x-c有公共点（x1，y1），（x2，y2），且x12+x22=t2+2t-3．（1）求实数t的取值范围；（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线y=x2与动直线y=（2t-1）x-c有公共点（x1，y1），（x2，y2），..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2014-11-14 07:30:00

试题原文

已知抛物线y=x²与动直线y=（2t-1）x-c有公共点（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁²+x₂²=t²+2t-3．
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：一次函数的定义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）联立y=x²与y=（2t-1）x-c，
消去y得二次方程x²-（2t-1）x+c=0①
有实数根x₁，x₂，则x₁+x₂=2t-1，x₁x₂=c．
所以c=x1x2=

1

2

[(x1+x2)2-(

x

21

+

x

22

)]
=

1

2

[(2t-1)2-(t2+2t-3)]=

1

2

(3t2-6t+4)②
把②式代入方程①得x2-(2t-1)x+

1

2

(3t2-6t+4)=0③
t的取值应满足t²+2t-3=x₁²+x₂²≥0，④
且使方程③有实数根，即△=（2t-1）²-2（3t²-6t+4）=-2t²+8t-7≥0，⑤
解不等式④得t≤-3或t≥1，
解不等式⑤得2-

2

≤t≤2+

2

．
所以，t的取值范围为2-

2

≤t≤2+

2

．⑥

（2）由②式知c=

1

2

(3t2-6t+4)=

3

2

(t-1)2+

1

2

．
由于c=

3

2

(t-1)2+

1

2

在2-

2

≤t≤2+

2

时是递增的，
所以，当t=2-

2

时，cmin=

3

2

(2-

2

-1)2+

1

2

=

11-6

2

4

．
答：当t=2-

2

时，c有最小值：cmin=

3

2

(2-

2

-1)2+

1

2

=

11-6

2

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线y=x2与动直线y=（2t-1）x-c有公共点（x1，y1），（x2，y2），..”的主要目的是检查您对于考点“初中一次函数的定义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中一次函数的定义”。

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