如图，设三角形的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B=60°，∠A＜∠C，∠A的外角平分线交圆O于E．证明：（1）IO=AE；（2）2R＜IO+IA+IC＜（1+3）R．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，设三角形的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B=60°，∠A＜∠C，∠A..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-07 07:30:00

试题原文

如图，设三角形的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B=60°，∠A＜∠C，∠A的外角平分线交圆O于E．
证明：
（1）IO=AE；
（2）2R＜IO+IA+IC＜（1+

3

）R．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：与圆有关的比例线段

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵∠B=60°，∴∠AOC=∠AIC=120°．
∴A，O，I，C四点共圆．圆心为弧AC的中点F，半径为R．
∴O为⊙F的弧AC中点，设OF延长线交⊙F于H，AI延长线交弧BC于D．
由∠EAD=90°（内外角平分线）知DE为⊙O的直径．∠OAD=∠ODA．
但∠OAI=∠OHI，故∠OHI=∠ADE，
于是Rt△DAE≌Rt△HIO，
∴AE=IO．
（2）由△ACH为正三角形，易证IC+IA=IH，
由OH=2R．∴IO+IA+IC=IO+IH＞OH=2R，
设∠OHI=α，则0＜α＜30°．
∴IO+IA+IC=IO+IH=2R（sinα+cosα）=2R

2

sin（α+45°），
又α+45°＜75°，
故IO+IA+IC＜2

2

R（

6

+

2

）×

1

4

=（1+

3

）R．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，设三角形的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B=60°，∠A＜∠C，∠A..”的主要目的是检查您对于考点“高中与圆有关的比例线段”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中与圆有关的比例线段”。

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