已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2都满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x＜0时，f（x）＜0．（1）判断f（x）的单调性；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）是否存在这样的实数m，当θ∈[0，π2]时-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2都满足f（x1+x2）=f（x1）+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x₁，x₂都满足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），
当x＜0时，f（x）＜0．
（1）判断f（x）的单调性；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）是否存在这样的实数m，当θ∈[0，

π

2

]时，使不等式f[cos²θ-（2+m）sinθ]+f（3+2m）＞0对所有θ恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设x₁＜x₂则x₁-x₂＜0，
f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上为增函数
（2）令x₁=x₂=0有f（0）=0
∴f（0）=f（x-x）=f（x）+f（-x）∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数
（3）假设存在实数m，由条件得f[cos²θ-（2+m）sinθ+3+2m]＞f（0）?cos²θ-（2+m）sinθ+3+2m＞0
令t=sinθt∈[0，1]有-t²-（2+m）t+4+2m＞0在[0，1]上恒成立
令g（t）=-t²-（2+m）t+4+2m则有

g(0)＞0

g(1)＞0

?m＞-1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2都满足f（x1+x2）=f（x1）+..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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