已知函数f(x)=2-xx+1；（1）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；（2）是否存在负数x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=2-xx+1；（1）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

2-x

x+1

；
（1）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（2）是否存在负数x₀，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x₀；若不存在，请说明理由．

试题来源：奉贤区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）任取x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂（1分）
∵f(x1)-f(x2)=

2-x1

x1+1

-

2-x2

x2+1

=

3x2-3x1

(x1+1)(x2+1)

＞0（4分）
∴函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数（1分）
（2）不存在（1分）
假设存在负数x₀，使得f(x0)=3x0成立，（1分）
则∵x0＜0，∴0＜3x0＜1（1分）
即0＜f（x₀）＜1∴0＜

2-x0

x0+1

＜1（1分）

-1＜x0＜2

-2x0+1

x0+1

＜0

=＞

-1＜x0＜2

x0＜-1或x0＞

1

2

=＞

1

2

＜x0＜2（2分）
与x₀＜0矛盾，（1分）
所以不存在负数x₀，使得f(x0)=3x0成立．（1分）
另：f(x)=-1+

3

x+1

，
由x₀＜0得：f（x₀）＜-1或f（x₀）＞2但0＜3x0＜1，
所以不存在．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=2-xx+1；（1）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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