已知函数f（x）=x3-34(a+4)x2+32(a+2)x，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a∈（0，2]，使得对任意的x∈[0，a]，不等式0≤f（x）≤a恒成立？若存在，求出所有a的值；-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-34(a+4)x2+32(a+2)x，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-

3

4

(a+4)x2+

3

2

(a+2)x，a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数a∈（0，2]，使得对任意的x∈[0，a]，不等式0≤f（x）≤a恒成立？若存在，求出所有a的值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x³-

9

2

x2+6x，
∴f′（x）=3x²-9x+6．…（2分）
令f′（x）=0，则x=1或x=2，
当f′（x）＞0时，x＜1，或x＞2；当f′（x）＜0时，1＜x＜2，
所以f（x）的单调递增区间是（-∞，1），（2，+∞），单调递减区间是（1，2）． …（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=x³-

3

4

(a+4)x2+

3

2

(a+2)x，
∴f′（x）=3x²-

3

2

(a+4)x +

3

2

(a+2)．
f′（x）=0，则x=1或x=

a

2

+1（a∈（0，2]），
当f′（x）＞0时，x＜1，或x＞

a

2

+1；当f′（x）＜0时，1＜x＜

a

2

+1，
所以f（x）的单调递增区间是（-∞，1），（

a

2

+1，+∞），单调递减区间是（1，

a

2

+1）． …（9分）
因为f（0）=0，下面分类讨论研究当x∈[0，a]时，f（x）最大值与最小值：
（1）当0＜a≤1时，f（x）在[0，a]上单调递增，
即f（x）的最小值为f（0）=0，最大值为f（a），
只要f（a）≤a成立即可，解得2≤a≤4，所以a不存在． …（12分）
（2）当1＜a≤2时，即1＜a＜

a

2

+1，f（x）在[0，1]上单调递增，在（1，a）单调递减，
即f（x）的最小值为f（0）=0或f（a），最大值为f（1），
只要

f(a)≥0

f(1)≤a

，解得a≥4，所以a也不存在．
综上所述，满足条件的实数a不存在． …（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-34(a+4)x2+32(a+2)x，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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