发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-03 07:30:00
试题原文 |
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(1)∵f′(x)=λg[λx+(1-λ)a]-λg′(x),-----------------(1分) 由f′(x)>0得,g[λx+(1-λ)a]>g′(x), ∴λx+(1-λ)a>x,即(1-λ)(x-a)<0,解得x<a,-----------------(3分) 故当x<a时,f′(x)>0;当x>a时,f′(x)<0; ∴当x=a时,f(x)取极大值,但f(x)没有极小值.-----------------(4分) (2)∵|
又当x>0时,令h(x)=ex-x-1,则h′(x)=ex-1>0, 故h(x)>h(0)=0, 因此原不等式化为
令g(x)=ex-(1+a)x-1,则g′(x)=ex-(1+a), 由g′(x)=0得:ex=(1+a),解得x=ln(a+1), 当0<x<ln(a+1)时,g′(x)<0;当x>ln(a+1)时,g′(x)>0. 故当x=ln(a+1)时,g(x)取最小值g[ln(a+1)]=a-(1+a)ln(a+1),---------------(8分) 令s(a)=
故s(a)<s(0)=0,即g[ln(a+1)]=a-(1+a)ln(a+1)<0. 因此,存在正数x=ln(a+1),使原不等式成立.-----------------(10分) (3)对任意正数a1,a2,存在实数x1,x2使a1=e x1,a2=e x2, 则a1λ1?a2λ2=eλ1x1?eλ2x2,λ1a1+λ2a2=λ1ex1+λ2ex2, 原不等式
?g(λ1x1+λ2x2)≤λ1g(x1)+λ2g(x2)-----------------(14分) 由(1)f(x)≤(1-λ)g(a) 故g[λa+(1-λ)a]≤λg(x)+(1-λ)g(a) 令x=x1,a=x2,λ=λ1,1-λ=λ2 从而g(λ1x1+λ2x2)≤λ1g(x1)+λ2g(x2) 故eλ1x1+ λ2x2≤λ1ex1+λ2ex2成立,得证(14分) |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设g(x)=ex,f(x)=g[λx+(1-λ)a]-λg(x),其中a,λ是常数,且0<λ<1...”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性与导数的关系”。